Construction of Involute Curves

The involute is a curve traced out by an end of a piece of thread unwound from a circle or a polygon, the thread being kept tight. It may also be defined as a curve traced out by a point in a straight line which rolls without slipping along a circle or a polygon. Involute of a circle is used as teeth profile of gear wheel. Mathematically it can be described by x = rcosθ + rθsinθ, y = rsinθ – rθcosθ, where “r” is the radius of a circle.

अंतर्वलित एक चक्र या बहुभुज से खुले धागे के एक टुकड़े के अंत से पता लगाया गया एक वक्र है, धागे को कसकर रखा जा रहा है। इसे एक सीधी रेखा में एक बिंदु द्वारा खींचे गए वक्र के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो एक वृत्त या बहुभुज के साथ फिसले बिना लुढ़कता है। एक चक्र का समावेश गियर व्हील के दांत प्रोफाइल के रूप में प्रयोग किया जाता है। गणितीय रूप से इसे x = rcosθ + rθsinθ, y = rsinθ – rθcosθ  द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जहाँ “r” एक वृत्त की त्रिज्या है।

Involute of a given circle/किसी दिए गए वृत्त का समावेश

With centre C, draw the given circle. Let P be the starting point, i.e. the end of the thread. Suppose the thread to be partly unwound, say upto a point 1. P will move to a position P1 such that 1 P1 is tangent to the circle and is equal to the arc 1 P. P1 will be a point on the involute.
Construction:
(i) Draw a line PQ, tangent to the circle and equal to the circumference of the circle.
(ii) Divide PQ and the circle into 12 equal parts.
(iii) Draw tangents at points 1, 2, 3 etc. and mark on them points P1, P2, P3 etc. such that 1P1 = P1′, 2P2 = P2′, 3P3 = P3′ etc. Draw the involute through the points P, P1, P2 … etc.

C को केन्द्र मानकर दिया गया वृत्त खींचिए। P को शुरुआती बिंदु होने दें, यानी थ्रेड का अंत। मान लीजिए कि धागा आंशिक रूप से खुला है, मान लें कि एक बिंदु 1 तक। P एक स्थिति P1 पर चला जाएगा जैसे कि 1 P1 वृत्त की स्पर्शरेखा है और चाप 1 P के बराबर है। P1 अंतर्वलित पर एक बिंदु होगा।
निर्माण:
(i) वृत्त की स्पर्श रेखा और वृत्त की परिधि के बराबर एक रेखा PQ खींचिए।
(ii) PQ और वृत्त को 12 बराबर भागों में विभाजित करें।
(iii) बिंदुओं 1, 2, 3 आदि पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उन पर बिंदु P1, P2, P3 आदि इस प्रकार अंकित कीजिए कि 1P1 = P1′, 2P2 = P2′, 3P3 = P3′ इत्यादि। पी, पी 1, पी 2 … आदि।

Normal and Tangent to an involute Curve:/एक अंतर्वलित वक्र के लिए सामान्य और स्पर्शरेखा:

The normal to an involute of a circle is tangent to that circle.
Draw a normal and a tangent to the involute of a circle at a point N on it.
(i) Draw a line joining C with N.
(ii) With CN as diameter describe a semi-circle cutting the circle at M.
(iii) Draw a line through N and M. This line is the normal. Draw a line ST, perpendicular to NM and passing through N. ST is the tangent to the involute.

एक वृत्त के एक व्युत्क्रम के लिए सामान्य उस वृत्त की स्पर्शरेखा है।
एक बिंदु N पर एक वृत्त के अंतर्वलन के लिए एक सामान्य और एक स्पर्शरेखा बनाएं।
(i) C को N से मिलाने वाली एक रेखा खींचिए।
(ii) CN को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त का वर्णन कीजिए जो वृत्त को M पर काटता है।
(iii) N और M से होकर एक रेखा खींचिए। यह रेखा अभिलंब है। NM के लम्बवत् और N से होकर गुजरने वाली एक रेखा ST खींचिए। ST अंतर्वलित की स्पर्श रेखा है।

Involute of a Polygon (Square)/एक बहुभुज (वर्ग) का समावेश

let ABCD be the given square.
(i) With centre A and radius AD, draw an arc to cut the line BA-produced at a point P1.
(ii) With centre B and radius BP1 (i.e. BA + AD) draw an arc to cut the line CB-produced at a point P2 . Similarly, with centres C and D and radii CP2 (i.e. CB + BA + AD) and DP3 (i.e. DC + CB + BA + AD =perimeter) respectively, draw arcs to cut DC-produced at a point P3 and AD-produced at a point P4 . The curve thus obtained is the involute of the square.

माना ABCD दिया गया वर्ग है।
(i) केंद्र A और त्रिज्या AD के साथ, बिंदु P1 पर बनी रेखा BA को काटने के लिए एक चाप खींचें।
(ii) को केंद्र B और त्रिज्या BP1 (अर्थात् BA + AD) से काटकर एक चाप लगाइए लाइन CB-एक बिंदु P2 पर उत्पादित। इसी प्रकार, केंद्र C और D और त्रिज्या CP2 (अर्थात CB + BA + AD) और DP3 (अर्थात् DC + CB + BA + AD = परिमाप) के साथ क्रमशः DC-उत्पादित बिंदु P3 और AD-उत्पादित बिंदु पर काटने के लिए चाप खींचें। एक बिंदु P4। इस प्रकार प्राप्त वक्र वर्ग का व्युत्क्रम है।