Construction of Spiral Curves/सर्पिल वक्रों का निर्माण

If a line rotates in a plane about one of its ends and if at the same time, a point moves along the line continuously in one direction, the curve traced out by the moving point is called a spiral.
The point about which the line rotates is called a pole. The line joining any point on the curve with the pole is called the radius vector and the angle between this line and the line in its initial position is called the vectorial angle.
Each complete revolution of the curve is termed the convolution.
A spiral may make any number of convolutions before reaching the pole.

यदि एक रेखा अपने एक सिरे के चारों ओर एक तल में घूमती है और यदि एक ही समय में, एक बिंदु एक दिशा में लगातार रेखा के साथ चलती है, तो गतिमान बिंदु द्वारा खींचे गए वक्र को सर्पिल कहा जाता है।
वह बिंदु जिसके चारों ओर रेखा घूमती है, ध्रुव कहलाता है। ध्रुव के साथ वक्र पर किसी भी बिंदु को जोड़ने वाली रेखा को त्रिज्या सदिश कहा जाता है और इस रेखा और रेखा के बीच के कोण को इसकी प्रारंभिक स्थिति में सदिश कोण कहा जाता है।
वक्र के प्रत्येक पूर्ण परिक्रमण को कनवल्शन कहा जाता है।
ध्रुव पर पहुँचने से पहले एक सर्पिल कितनी भी संख्या में चक्कर लगा सकता है।

Archemedian Spiral/आर्केमेडियन सर्पिल

It is a curve traced out by a point moving in such a way that its movement towards or away from the pole is uniform with the increase of the vectorial angle from the starting line.
The use of this curve is made in teeth profiles of helical gears, profiles of cams etc.

यह एक वक्र है जिसे एक बिंदु द्वारा इस तरह से आगे बढ़ाया जाता है कि ध्रुव की ओर या दूर इसकी गति प्रारंभिक रेखा से सदिश कोण की वृद्धि के साथ एकसमान होती है।
इस वक्र का उपयोग पेचदार गियर्स के दांतों के प्रोफाइल, कैम के प्रोफाइल आदि में किया जाता है।

To construct an Archemedian spiral of 1.5 convolutions, given the greatest and the shortest radii./1.5 कनवल्शन के एक आर्केमेडियन सर्पिल का निर्माण करने के लिए, सबसे बड़ी और सबसे छोटी त्रिज्या दी गई है।

Let O be the pole, OP the greatest radius and OQ the shortest radius.
(i) With centre O and radius equal to OP, draw a circle. OP revolves around 0 for 1.5 revolutions. During this period, P moves towards 0, the distance equal to (OP – OQ) i.e. QP.
(ii) Divide the angular movements of OP, viz 1.5 revolutions i.e. 540° and the line QP into the same number of equal parts, say 18 (one revolution divided into 12 equal parts). When the line OP moves through one division, i.e. 30°, the point P will move towards O by a distance equal to one division of QP to a point P1.
(iii) To obtain points systematically draw arcs with centre O and radii O1, O2, O3 etc. intersecting lines O1′, O2′, O3′ etc. at points P1, P2 , P3 etc. respectively. In one revolution, P will reach the 12th division along QP and in the next half revolution it will be at the point PQ on the line 18′-O.
(iv) Draw a curve through points P, P1, P2, PQ. This curve is the required Archemedian spiral.

मान लीजिए कि O ध्रुव है, OP सबसे बड़ी त्रिज्या है और OQ सबसे छोटी त्रिज्या है।
(i) O को केंद्र और OP को त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए। ओपी 1.5 क्रांतियों के लिए लगभग 0 घूमता है। इस अवधि के दौरान, P 0 की ओर बढ़ता है, जो (OP – OQ) के बराबर दूरी यानी QP है।
(ii) ओपी के कोणीय आंदोलनों को विभाजित करें, अर्थात 1.5 क्रांतियां यानी 540 डिग्री और रेखा क्यूपी समान भागों की समान संख्या में विभाजित करें, 18 कहें (एक क्रांति 12 बराबर भागों में विभाजित)। जब रेखा OP एक भाग अर्थात 30° से होकर गुजरती है, तो बिंदु P O की ओर QP के एक विभाजन के बराबर दूरी से एक बिंदु P1 तक जाएगा।
(iii) बिंदुओं को प्राप्त करने के लिए व्यवस्थित रूप से केंद्र O और त्रिज्या O1, O2, O3 आदि के साथ चाप बनाएं जो क्रमशः P1, P2, P3 आदि बिंदुओं पर O1′, O2′, O3′ आदि रेखाओं को काटते हैं। एक चक्कर में, P, QP के साथ-साथ 12वें मंडल तक पहुँचेगा और अगले आधे चक्कर में यह 18′-O रेखा पर बिंदु PQ पर होगा।
(iv) बिंदु P, P1, P2, PQ से होकर एक वक्र खींचिए। यह वक्र आवश्यक आर्केमेडियन सर्पिल है।

To draw a Normal and Tangent to the Archemedian spiral at a point N on it. / एक बिंदु N पर आर्केमेडियन सर्पिल के लिए एक सामान्य और स्पर्शरेखा खींचना।

The normal to an Archemedian spiral at any point is the hypotenuse of the right-angled triangle having the other two sides equal in length to the radius vector at that point and the constant of the curve respectively.
The constant of the curve is equal to the difference between the lengths of any two radii divided by the circular measure of the angle between them. OP and OP3 are two radii making 90 degree angle between them. In circular measure in radian, 90 degree=1.57. Therefore, the constant of the curve, C=(OP – OP 3)/1.57

किसी भी बिंदु पर एक आर्कमेडियन सर्पिल के लिए सामान्य समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है, जिसकी अन्य दो भुजाएँ उस बिंदु पर त्रिज्या सदिश की लंबाई के बराबर होती हैं और क्रमशः वक्र की स्थिरांक होती हैं।
वक्र का स्थिरांक किन्हीं दो त्रिज्याओं की लंबाई के बीच के कोण के वृत्ताकार माप से विभाजित अंतर के बराबर होता है। OP और OP3 दो त्रिज्याएँ हैं जो उनके बीच 90° का कोण बनाती हैं। रेडियन में गोलाकार माप में, 90 डिग्री = 1.57। इसलिए, वक्र का स्थिरांक, C=(OP – OP 3)/1.57

Construction of Normal
(i) Draw the radius vector NO.
(ii) Draw a line OM equal in length to the constant of the curve C and
perpendicular to NO.
(iii) Draw the line NM which is the normal to the spiral.
(iv) Through N, draw a line ST perpendicular to NM. ST is the tangent to the spiral.

सामान्य का निर्माण
(i) त्रिज्या सदिश NO खींचिए।
(ii) एक रेखा OM खींचिए जिसकी लम्बाई वक्र C और के अचर के बराबर हो
NO के लंबवत।
(iii) रेखा NM खींचिए जो सर्पिल के अभिलम्बवत् है।
(iv) N से होकर NM पर लम्बवत् एक रेखा ST खींचिए। ST सर्पिल की स्पर्शरेखा है।

Logarithmic or Equiangular Spiral/लघुगणकीय या समकोणीय सर्पिल

In a logarithmic spiral, the ratio of the lengths of consecutive radius vectors enclosing equal angles is always constant. In other words the values of vectorial angles are in arithmetical progression and the corresponding values of radius vectors are in geometrical progression. The logarithmic spiral is also known as equiangular spiral because of its property that the angle which the tangent at any point on the curve makes with the radius vector at that point is constant.

एक लघुगणकीय सर्पिल में, समान कोणों को घेरने वाले क्रमिक त्रिज्या सदिशों की लंबाई का अनुपात हमेशा स्थिर होता है। दूसरे शब्दों में सदिश कोणों के मान अंकगणितीय प्रगति में हैं और त्रिज्या वैक्टर के संबंधित मूल्य ज्यामितीय प्रगति में हैं। लॉगरिदमिक सर्पिल को समकोणीय सर्पिल के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि इसकी विशेषता यह है कि वक्र पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा उस बिंदु पर त्रिज्या वेक्टर के साथ जो कोण बनाती है वह स्थिर है।

To construct a logarithmic spiral of one convolution, given the length of the shortest radius and the ratio of the lengths of radius vectors enclosing an angle θ./सबसे छोटी त्रिज्या की लंबाई और त्रिज्या सदिशों की लंबाई के अनुपात को देखते हुए, एक कनवल्शन के लघुगणकीय सर्पिल का निर्माण करने के लिए एक कोण θ संलग्न करना।

Assume the shortest radius be 1 cm long, θ equal to 30° and the ratio 10/9 ·
The lengths of radius vectors are determined from the scale which is constructed as shown below:
(i) Draw lines AB and AC making an angle of 30° between them.
(ii) On AB, mark AD, 1 cm long. On AC, mark a point E such that AE = 10/9 x 1 cm = 10/9 cm.
(iii) Draw a line joining D with E.
(iv) With centre A and radius AE, draw an arc cutting AB at a point 1. Through 1, draw a Iine 1-1′ paraIlel to DE and cutting AC at 1 ‘. Again, with centre A and radius A1′ draw an arc cutting AB at 2. Through 2, draw a line 2-2′ parallel to DE and cutting AC at 2’. Repeat the construction and obtain points 3, 4 ….. 12. A1, A2 etc. are the lengths of consecutive radius vectors.
(v) Draw a horizontal line OQ and on it, mark OP, 1 cm long. Through O, draw radial lines making 30° angles between two consecutive lines. These are the radius vectors.
(vi) Mark points P1, P2 ………. P12 on consecutive radius vectors = A1, OP2 = A2 ………. OP12 = A12.
(vii) Draw a smooth curve through P1 , P2 …… P12 . This curve is the required logarithmic spiral.
The equation to the logarithmic spiral is r = a^θ where r is the radius vector, θ is the vectorial angle and a is a constant.
Hence, log r = θ log a. If θ = 0, log r = 0 :. r = 1.
When θ = 30° = π/6 radians, r =10/9x 1=10/9 :. log 10/9 =π/6 log a i.e log a = 6/π log10/9 :. a = 1.22.

मान लें कि सबसे छोटी त्रिज्या 1 सेमी लंबी, θ बराबर 30° और अनुपात 10/9 है। त्रिज्या वैक्टर की लंबाई उस पैमाने से निर्धारित होती है जिसे नीचे दिखाया गया है:
(i) AB और AC के बीच 30° का कोण बनाते हुए रेखाएँ खींचिए।
(ii) AB पर 1 सेमी लंबा AD अंकित कीजिए। AC पर एक बिन्दु E इस प्रकार अंकित कीजिए कि AE = 10/9 x 1 सेमी = 10/9 सेमी।
(iii) D को E से मिलाने वाली एक रेखा खींचिए।
(iv) केंद्र A और त्रिज्या AE के साथ, बिंदु 1 पर AB को काटते हुए एक चाप बनाएं। फिर से, A को केंद्र और A1′ त्रिज्या से एक चाप खींचिए जो AB को 2 पर काटता है। 2 से होकर, DE के समानांतर 2-2′ रेखा खींचिए और AC को 2′ पर काटिए। रचना को दोहराएं और अंक 3, 4 ….. 12 प्राप्त करें। A1, A2 आदि लंबाई हैं लगातार त्रिज्या वैक्टर की।
(v) एक क्षैतिज रेखा OQ खींचिए और उस पर 1 सेमी लंबी OP अंकित कीजिए। होकर O, दो क्रमागत रेखाओं के बीच 30° का कोण बनाते हुए त्रिज्यीय रेखाएँ खींचिए। ये त्रिज्या वैक्टर हैं।
(vi) क्रमागत त्रिज्या सदिशों पर बिंदु P1, P2 ……….. P12 अंकित करें = A1, OP2 = A2 ……….. OP12 = A12.
(vii) P1, P2 …… P12 के माध्यम से एक चिकनी वक्र बनाएं। यह वक्र आवश्यक लघुगणकीय सर्पिल है।
लघुगणकीय सर्पिल का समीकरण r = a^θ है जहाँ r त्रिज्या सदिश है, θ सदिश कोण है और a एक स्थिरांक है।
अतः, log r = θ log a यदि θ = 0, log r = 0 :. r = 1
जब θ = 30° = π/6 रेडियन, r =10/9x 1=10/9 :. log 10/9 =π/6 log a यानी log a = 6/π log10/9 :. a = 1.22।